方超开始审题。
通常来说,IMO赛事每天的三道题也分为普通、困难、地狱三种模式,而有时候IMO赛事的话会比较变态,他们的模式会上升一个等级的难度,例如说困难、地狱、炼狱三种模式。简直变态的不要不要的。
当然,这些都要看主试委员会的想法。
第一道题是酱紫的。
设整数集合为Z,求所有函数f:Z→Z使得对任意整数a,b都有f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))。
这道题!
这一道题……
爽啊!!
在集训营的最后半个月时间,林教授特地又强调了一下函数,同时在这样子的题型之上足足做了六七道的模拟题,将六人对于函数的理解直接上升了一个台阶。
眼下这一道题近乎可以肯定不是出自林教授的手笔,全球一百多个国家,每个国家三到五道题的产生,由主试委员会进行筛选,一个国家能够选到一题的可能性都微乎其微,倒是韩国教授的几次出题都被选中,因此也声名鹊起。
这一道题很明显不是来自于林教授,如果是林教授的话,绝对会出到相似的题目,只是转换几个数据而已,可就算如此的话,方超内心中也是喜悦。
因为万变不离其宗。
啧啧……
组委会啊!
你们还是太小瞧我们国家队的实力了!
我们国家队每天做那么多的练习题是为了什么?要论基础水平的话,我们国家称第二,哪一个敢称第一?
你以为我们这么强就只是因为每天做那么多的练习题么?
当然不是,我们变强除开每天大量的练习之外,还与每天俯卧撑一百个、仰卧起坐一百个、下蹲一百个以及跑步十千米分不开!
我们察觉到我们的变化,我们变强了,因为我们秃了!
为了国家抛头颅,洒热血,当仁不让。
这一道题,我们拿下了!
如果连这一道题都错失的话,那么谁错了,谁就可以回家种田了。
连这样子难度的题目都搞不定,选你出来有什么用?
方超热血沸腾!
体内的战血在飙升!
这一刻,这一时,这一秒,民族的战魂觉醒了。
解:
由f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)),取a=0。
得到f(0)+2f(b)=f(f(b))对所有整数b都成立。
同时,在原式中,以a+b代替b,得到f(f(a+b))=2f(a+b)+f(0)带回原式又得到2f(a+b)+f(0)=f(f(a+b))=f(2a)+2f(b)。
取a=b+1,于是f(0)+2f(b+1)=f(2)=2f(b)
即f(b+1)-f(b)=1/2(f(2)-f(0))=C是一个常数。
IMO所考的内容不外乎就是代数、数论、几何、组合数学、组合几
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